Jeśli jesteś właścicielem tej strony, możesz wyłączyć reklamę poniżej zmieniając pakiet na PRO lub VIP w panelu naszego hostingu już od 4zł!
Strony WWWSerwery VPSDomenyHostingDarmowy Hosting CBA.pl

Metody rozwiązywania równania Diraca - część 2

Problem 2, Janusz Szcząchor

Wyprowadź w sposób systematyczny jednoznaczną metodę rozwiązywania równania Diraca w dowolnym polu elektromagnetycznym dla przedstawienia spinorowego tego równania.

Rozwiązanie

Równanie Diraca może być napisane w formie (1)

równanie falowe z hamiltonianem

gdzie HD , to

hamiltonian Diraca

czyli Dirakowski operator Hamiltona dla naładowanego leptonu poruszającego się w potencjale elektromagnetycznym Aμ = (A0 , A) [1]. Tutaj jako p został oznaczony (żeby nie dublować symboliki) operator pędu tj.

operator pędu

Ponadto Ψ, to Dirakowski bispinor, a wielkości α i β, to macierze działające w czterowymiarowej przestrzeni spinorowej. Równanie Diraca jest w istocie, przy niezerowym polu elektromagnetycznym, układem czterech równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu. Daje się go sprowadzić do układu równań algebraicznych tylko wtedy, gdy położymy A0 = 0 i A = 0.

Gwoli ścisłości wyjaśniam, że konsekwentnie stosuję metrykę gμν = (1,-1,-1,-1) i dlatego A0 = A0 , a Ai = - Ai. Ponadto uczulam, że e oznacza ładunek cząstki. Tutaj rozumiemy, że ładunek wzięty jest wraz ze znakiem, tak że dla elektronu e = - |e| [2].

W dowolnym polu elektromagnetycznym równanie (1) może być przekształcone [2] w układ równań drugiego rzędu, który przyjmuje postać

równanie Diraca II rzedu

gdzie przedstawienie macierzy α jest jeszcze dowolne. Natomiast macierz ½Σ, to trójwymiarowy operator spinu działający na bispinory Diraca, którego postać identyczna w przedstawieniach standardowym i spinorowym ma następująca formę

bispinorowa macierz sigma

Z powyższego widać, że w przedstawieniu standardowym ostatni człon równania (4) będzie niediagonalny z uwagi na obecność macierzy α. Aby maksymalnie zminimalizować takie trudności powinniśmy użyć spinorowego przedstawienia macierzy Diraca, które wtedy mają następującą postać

macierze α i β w przedstawieniu spinorowym

gdzie składowe σ, to macierze Pauliego, a 1 to 2×2 macierz jednostkowa. W ten sposób możemy dalej rozseparowywać równania.

Ponieważ niektóre rozwiązania równania (4) nie spełniają wyjściowego równania (1), konieczne jest przedstawienie systematycznej metody rozwiązywania równania Diraca w przedstawieniu spinorowym w dowolnym polu elektromagnetycznym, tak aby móc łatwo wyselekcjonować tylko te rozwiązania równania (4), które spełniają równanie (1).

Rozłóżmy zatem bispinor Ψ(r,t) na dwa spinory jak niżej

bispinor rozłożony na składowe

Wówczas równanie Diraca (1) i (2) może być przedstawione używając (7), jako układ dwóch sprzężonych równań różniczkowych. (Dla zainteresowanych, od tej chwili szczegółowe obliczenia umieszczam w dodatkach matematycznych.) Stąd otrzymujemy (patrz → dodatek matematyczny nr 1)

równanie Diraca na fi

równanie Diraca na chi

Tutaj opuściliśmy na razie argumenty przestrzenno-czasowe oraz użyliśmy, z uwagi na równość x0 = x0, dla lepszej estetyki oznaczenia

x0 = ct . (9)

Pomnóżmy równania (8) stronami przez iħ/mc i wprowadźmy następujące oznaczenia

operator L+

operator L-

Dzięki powyższemu możemy równania (8) zapisać symbolicznie jako

równanie na fi z operatorem L+

równanie na chi z operatorem L-

Jeżeli równanie (11') potraktujemy jako wzór na funkcję χ i podstawimy je do (11'') właśnie za χ, to otrzymamy równanie II rzędu tylko na φ, które teoretycznie powinno już dać się rozwiązać. Podobnie można postąpić z funkcją φ w równaniu (11'') i podstawiając do (11') otrzymać równanie tylko na χ. Stąd otrzymujemy dwa układy równań określających rozwiązania równania Diraca (1) i (2) w dowolnym polu elektromagnetycznym, a mianowicie

pierwszy układ równoważny równaniu Diraca

Oraz

pierwszy układ równoważny równaniu Diraca

Równania drugiego rzędu obu układów są od siebie niezależne, bo z uwagi na niekomutację operatorów (11') i (11") są to dwa różne równania. Jednak układ równań (12), jak i układ równań (13), każdy z osobna, są całkowicie równoważne wyjściowemu równaniu Diraca w polu Aμ, patrz [3]. Dlatego rozwiązując którykolwiek z nich powinniśmy otrzymać pełen zbiór rozwiązań (jeśli chodzi o identyczne przekształcenie dla przedstawienia standardowego równania Diraca, to patrz → dodatek matematyczny nr 2).

Dyskusja rozwiązań

Sądzę, że nadszedł już czas, aby przeprowadzić poważniejszą dyskusję otrzymanych równań potrzebną szczególnie osobom słabo obeznanym z relatywistyczną mechaniką kwantową. Na ogół wiadomo, że swobodne równanie Diraca (przecież niezawierające ładunku elektrycznego) ma rozwiązania o dodatniej energii przypisywane elektronom oraz o ujemnej energii przypisywane pozytonom. Jednak trzeba sobie zdawać sprawę, że zarówno elektron, jak i pozyton mają ładunek elektryczny w każdej sytuacji fizycznej i w niezerowym polu elektromagnetycznym nie można go pominąć w rachunkach.

Elektron i pozyton mają ładunki elektryczne przeciwnych znaków. W dotychczas zapisanych równaniach, zgodnie z uwagą wskazaną wyżej e oznacza ładunek elektryczny wzięty wraz ze znakiem. Oznacza to, że aby otrzymać równania dla elektronu trzeba za e podstawić -|e|, a dla pozytonu +|e|.

Zauważmy zatem, że z układów równań (12), jak i (13) można otrzymać równania dla elektronu, jak i dla pozytonu. Zważmy ponadto, że - patrz [4] - zarówno równania elektronowe, jaki pozytonowe mają rozwiązania o dodatniej oraz o ujemnej energii. A zatem w sytuacji dowolnego pola zewnętrznego okazuje się, że niezależnie od rodzaju cząstki rozwiązania o dodatniej energii odpowiadają tej cząstce, a o ujemnej jej antycząstce. Co zatem zrobić z taką podwójną ilością równań?

W tym miejscu przypomnijmy sobie po pierwsze, że pracujemy w przedstawieniu spinorowym. Po drugie jest jasne, że rozwiązania otrzymane w niezerowym polu, chociażby dla kontroli, będziemy musieli w pewnym momencie skonfrontować z rozwiązaniami swobodnymi, oczywiście w tymże samym przedstawieniu. A jak wyglądają te spinorowe rozwiązania swobodne?

Można znaleźć w [5], że w przeciwieństwie do przedstawienia standardowego to przedstawienie nie różnicuje składowych bispinora na duże i małe.
W przedstawieniu spinorowym rozwiązania swobodne zawierają na pierwszej lub drugiej pozycji 1 (czyli składowa φ), a na przeciwnej 0. Z kolei na 3 lub 4 pozycji (czyli składowa χ) jest coś co dla p → 0 zmierza albo do ±1, albo do 0. To coś co zmierza do 0 dla cp« mc2 powinno być bardzo małe.

Przyjrzyjmy się równaniom (10), oba operatory L+, jak i L- zawierają czynnik ħ/mc. W [2] można znaleźć na samym początku książki, że jest to comptonowska długość fali elektronu równa 3,862·10-14m (w jednostkach podstawowych SI).

Zatem powinniśmy wybrać taki układ równań, który pozwoli nam potraktować składową φ jako rzędu 1, tak żeby któryś z elementów χ miał szansę być mniejszego rzędu. A zatem widać, że powinniśmy spróbować rozwiązać układ równań (12), bo wtedy operator L+ ma szansę zmniejszyć składową χ względem φ. Podstawiając za e wartość -|e| otrzymamy równanie dla elektronu. Jego rozwiązania o dodatniej energii przypiszemy tej cząstce (jeżeli w danym polu jakieś rozsądne fizycznie rozwiązania da się znaleźć), a rozwiązania o ujemnej energii przypiszemy oczywiście pozytonowi, a następnie wszystkie rozwiązania skonfrontujemy z rozwiązaniami swobodnymi.

Dokonując odpowiednich przekształceń matematycznych w równaniu II rzędu w układzie równań (12) ( patrz → dodatek matematyczny nr 3 ) otrzymujemy następujące równanie na φ

ostateczna postać równania II rzędu na φ

które wraz z równaniem (11') są całkowicie równoważne wyjściowemu równaniu Diraca i mogą służyć do znalezienia jego rozwiązania w dowolnym polu elektromagnetycznym, o ile będzie to wygodne, aby dla danego zagadnienia użyć prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych w danym układzie odniesienia.

Dodatek matematyczny nr 1

W równaniu Diraca (1) i (2) dokonujemy kolejno następujących podstawień

bispinor, macierze α i β przedstawione za pomocą składowych

po których otrzymujemy

rozkład równania Diraca na składowe spinorowe

następnie za p podstawiamy jawnie ten operator, czyli

jawna postać operatora pędu

a następnie tak otrzymane równanie dzielimy stronami przez c, oznaczamy ct jako x0. Z kolei dzielimy je stronami przez iħ oraz przenosimy człony diagonalne na lewą stronę i otrzymujemy w końcu

rozkład równania Diraca na dwa równania spinorowe

Jak widać macierz β (w tym przedstawieniu) jest jedynym w tym równaniu elementem niediagonalnym, który miesza ze sobą składowe spinorowe. Równanie to możemy już rozdzielić na dwa równania sprzężone na składowe spinorowe φ i χ, otrzymujemy wtedy równania (8).

Dodatek matematyczny nr 2

Jeśli chodzi o takie samo przejście jak w przedstawieniu spinorowym od równania Diraca w postaci (1) i (2) do jednego z układów równań, albo (12), albo (13), ale w przedstawieniu standardowym, to jest to proste wyłącznie dla stanów stacjonarnych. Spójrzmy poniżej na wyjściowe równanie potrzebne do otrzymania równań postaci podobnej co do formy (8') i (8''). W przedstawieniu standardowym ma ono następującą postać (po dokonaniu przegrupowań członów niezbędnych dla lepszej widoczności)

rozkład równania Diraca na dwa równania w przedstawieniu standardowym

Trudność tu wynika z oczywistego faktu, że nie można podzielić stronami równania różniczkowego przez operator -∂/∂x0 działający na nieznaną funkcję, jak również dzielenie przez energię eA0 bedącą funkcją może być kłopotliwe poza sytuacją, gdy jest ona stałą. Oczywiście nie twierdzimy, że jest to niemożliwe, ale droga prowadząca w tym przedstawieniu do równań analogicznych do (12) lub (13) jest dość skomplikowana, co podkreśla atrakcyjność przedstawienia spinorowego.

Dodatek matematyczny nr 3

A zatem przechodzimy do równania II rzędu w układzie (12). Podstawiamy jawnie operatory L i L+, wymnażamy przez siebie składniki, korzystamy z poniższej tożsamości 

tożsamość wektorowa dla macierzy Pauliego

następnie z faktu, że iloczyn wektorowy wektora z samym sobą to zero, jak również rotacja gradientu to też zero, wzoru na rotację iloczynu funkcji skalarnej i funkcji wektorowej, cechowania Lorentza, definicji indukcji pola magnetycznego oraz natężenia pola elektrycznego, jak również dokonujemy potrzebnych redukcji wyrazów podobnych i otrzymujemy następującą postać operatora LL+φ

ostateczna postać operatora L-L+φ

LITERATURA

[1] J. D. Bjorken, S. D. Drell, Relatywistyczna teoria kwantów, Część I. Relatywistyczna mechanika kwantowa, PWN, W-wa 1985, §1.4.

[2] W. B. Bierestecki, E. M. Lifszyc, L. P. Pitajewski, Relatywistyczna teoria kwantów,Tom 1, PWN, Kraków 1972, §32.

[3] I. Białynicki-Birula, Z. Białynicka-Birula, Elektrodynamika kwantowa, PWN, Warszawa 1974, §16.

[4] J. D. Bjorken, S. D. Drell, Relatywistyczna teoria kwantów, Część I. Relatywistyczna mechanika kwantowa, PWN, W-wa 1985, rozdział 5 .

[5] J. Szcząchor, Metody rozwiązywania równania Diraca - Część 1.