Jeśli jesteś właścicielem tej strony, możesz wyłączyć reklamę poniżej zmieniając pakiet na PRO lub VIP w panelu naszego hostingu już od 4zł!
Strony WWWSerwery VPSDomenyHostingDarmowy Hosting CBA.pl

Wykresy funkcyjne w fizyce szkolnej - część 2

Jest to druga część mojego artykułu poświęconego zadaniom z wykresami funkcyjnymi. Niektórych zagadnień wyjaśnionych już w jego części pierwszej nie będę powtarzał. Dlatego zaleca się, jeżeli nie znasz jej, aby najpierw się z nią zapoznać.

Wszystkie te zadania są oparte na jednej idei, że wykres zależności dowolnej wielkości fizycznej od czasu jest przedziałami linią prostą. Stąd w takim przedziale szybkość zmian tej wielkości fizycznej względem czasu jest stała. Dzięki temu wzór na pochodną tej wielkości po czasie można zastąpić ilorazem różnicowym tej wielkości względem czasu równym, wyrażonym w odpowiednich jednostkach, tangensowi kąta nachylenia odpowiedniej prostej względem osi X.

4. Zależność drogi od czasu

W zbiorze zadań [1] znajduje się następujące zadanie.

Na rysunku 1.6 pokazano wykresy zależności drogi dwu ciał od czasu. Narysuj wykresy prędkości tych ciał zachowując skalę czasu. Przyjmij, że jednostka dla osi prędkości wynosi 0,5 m/s.

rysunek 1.6 ze zbioru Mendla

Rozwiążemy przykład wykresu oznaczonego jako 1. Wykres ten jest łamaną, która tutaj ma dwa punkty nieciągłości. Łamana ta składa się z trzech odcinków będących oczywiście fragmentami pewnych prostych. Każda z tych prostych, będąca funkcją opisującą zależność drogi od czasu ma ogólną postać w formie (równanie prostej)

s(t) = s0 + v·t, (1)

gdzie v jest stałą, bo jest to własność wykresu każdej prostej.

Gdy wartość prędkości w ruchu jest stała, to oznacza, że wartości prędkości chwilowej i średniej w tym ruchu są sobie równe. Z tego powodu obliczanie wartości prędkości na tych odcinkach może być sprowadzone do wykorzystania wzoru na jej wartość w formie ilorazu różnicowego (czyli na prędkość średnią), zamiast w formie pochodnej (czyli na prędkość chwilową)

v = Δs(t)/Δt. (2)

Skoro już wiemy, że wartości prędkości w tym ruchu są przedziałami stałe, to wykresy zależności prędkości od czasu tego ciała będą odcinkami równoległymi do osi X. Pozostaje ustalić zgodnie ze wzorem (2) te wartości.

Nie powinno ulegać wątpliwości, że wartość prędkości w pierwszych pięciu sekundach jest równa 0.2 m/s, w kolejnych dwóch 0 m/s i wreszcie w trzech ostatnich - 0.5 m/s. Wykres zależności prędkości czasu w tym ruchu ma zatem postać na rysunku nr 1.

zależność prędkości od czasu

5. Zależność pędu od czasu

W zbiorze zadań [2] znajduje się następujące zadanie.

Narysuj wykres zależności pędu ciała od czasu na podstawie danego wykresu zależności siły od czasu (rys. 2.18). Prędkość początkowa ciała o masie m = 1 kg wynosi v0 = 3 m/s.

rysunek 2.18 ze zbioru Mendla

Jak wynika z powyższego rysunku wartość siły działającej na ciało zmieniała się w czasie. Ponieważ masa ciała jest stała, więc zmiana pędu ciała objawia się tylko w formie zmiany wartości jego prędkości. Powstaje pytanie jaka jest zależność prędkości od czasu dla tego ciała?

Z rysunku 2.18 widzimy, że chociaż wartość siły zmieniała się, to jednak była przedziałami stała. Stałość siły i masy skutkuje, że przyspieszenie ciała było też przedziałami stałe. Stąd mamy wniosek, że charakter zależności prędkości ciała od czasu jest typu dla ruchu jednostajnie zmiennego.

Ponadto z tego rysunku wynika, że wartość siły była zawsze dodatnia. Zatem ciało porusza się ruchem przedziałami jednostajnie przyspieszonym, gdzie zależność prędkości od czasu jest dana jako

v(t) = v0 + a·t. (3)

Aby otrzymać zależność pędu od czasu wymnóżmy (3) stronami przez masę ciała m i mamy

p(t) = p0 + F·t. (4)

Musimy ustalić wartość liczbową p0 dla chwili t0 = 0s, która jest równa

p0 = mv0 = 3 kg·m/s. (5)

Jak wynika z rysunku 2.18 przez pierwsze cztery sekundy wartość działającej na ciało siły była równa 12 N. Zatem przyrost pędu w ciągu tego czasu jest równy

F·t = 12N·4s = 12kg·m·4s/s2 = 48 kg·m/s. (5)

Przez następne 4 sekundy siła działająca była równa 0 N, zatem przyrost pędu w tym czasie był równy 0 kg·m/s. Stąd w ciągu tego czasu pęd ciała miał stałą wartość równą pędowi ciała w czwartej sekundzie, czyli 51 kg·m/s.

Od ósmej sekundy siła miała wartość 6 N i brak jest zaznaczonego końca wykresu. Sprawę można rozwiązać zauważając, że w tym momencie wartość początkowa pędu, to 51 kg·m/s, a w kolejnych sekundach pęd przyrastał w ilości 6 kg·m/s w ciągu każdej sekundy.

Dalej zauważmy, że skoro siła jest stała w czasie, to wartość chwilowa siły jest równa wartości średniej siły, a tą można wyrazić jako

F = Δp/Δt, (6)

a stąd tangens kąta nachylenia prostej będącej wykresem zależności pędu od czasu od ósmej sekundy musi być równy działającej sile, czyli wyrażony w odpowiedniej jednostce musi dawać przyrost pędu równy 6 kg·m/s w ciągu każdej sekundy. Stąd otrzymujemy następujący wykres będący rozwiązaniem zadania.

zależność pędu od czasu

6. SEM samoindukcji w obwodzie z płynącym prądem elektrycznym

W zbiorze zadań [3] znajduje się następujące zadanie.

Natężenie prądu w pewnym obwodzie zawierającym cewkę o indukcyjności L zmienia się w czasie tak, jak na  rysunku 30. Znaleźć maksymalną wartość SEM samoindukcji powstałej w tym obwodzie oraz wykreślić zależność Ε = f(t).

zależność natężenia prądu od czasu

Jest to niewątpliwie zadanie na siłę elektromotoryczną samoindukcji, która jest dana wzorem

Ε = - L·dI/dt. (7)

Tak sformułowanego zadania nie da się rozwiązać wprost z uwagi na brak podanej wartości indukcyjności, ale możemy oczywiście wykreślić funkcję Ε = f(t) przyjmując wartość indukcyjności umownie równą x henrów.

Z uwagi na to, że wykres jest nieciągły nie można podać na niego jednego wzoru analitycznego, musimy każdy przedział, w którym natężenie prądu ma charakter liniowy badać z osobna.

1 przedział czasu
W tym przedziale wartość natężenia prądu jest stała, równa 5 A, niezależna od czasu. Dla takiego typu zależności od czasu pochodna, jak i iloraz różnicowy natężenia prądu względem czasu są równe 0. Zatem SEM jest tutaj też równa 0.
2 przedział czasu
Tutaj wartość natężenia prądu zmienia się liniowo od wartości 5 A do 10 A w ciągu 0.01s. Dla zależności liniowej możemy posłużyć się ilorazem różnicowym, czyli


Ε = - L·ΔI/Δt,


Ε = - x·(10 - 5)/0.01 H·A/s = - 500·x V. (8)

3 przedział czasu
W tym przedziale wartość natężenia prądu zmienia się liniowo od wartośći 10 A do 0 A również w ciągu 0.01s. Zatem ta wartość SEM to


Ε = - x·(0 - 10)/0.01 H·A/s = + 1000·x V. (9)

4 przedział czasu
W końcu tutaj wartość natężenia prądu zmienia się liniowo od wartośći 0 A do 5 A również w ciągu 0.01s. Zatem wartość SEM to


Ε = - x·(5 - 0)/0.01 H·A/s = - 500·x V. (10)

Nie ma potrzeby badania dalszych przedziałów czasu, bowiem sytuacja już się tylko powtarza.

Zatem możemy podać odpowiedź, że maksymalna wartość SEM samoindukcji w tym obwodzie, to +1000·x V (1), a wykres zależności E = f(t) jest dany na poniższym rysunku.

zależność SEM od czasu


(1) Zaglądając do odpowiedzi w zbiorze można zauważyć, że autorzy przyjęli, iż L = 0.1 H, jednak ktoś zapomniał to dopisać do treści zadania.


LITERATURA

[1] Bogdan MendeL, Janusz Mendel, Zbiór zadań z fizyki, dla klasy I liceum ogólnokształcącego i technikum, WSiP, Warszawa 1976, zadanie 1.32 .

[2] Bogdan MendeL, Janusz Mendel, Zbiór zadań z fizyki, dla klasy I liceum ogólnokształcącego i technikum, WSiP, Warszawa 1976, zadanie 2.55 .

[3] S.Ćwiok, M. Haensel, P. Haensel, M. Zwoliński Zbiór zadań z fizyki, dla klasy III i IV liceum i technikum, WSiP, Warszawa 1977, zadanie 2.30 .