Jeśli jesteś właścicielem tej strony, możesz wyłączyć reklamę poniżej zmieniając pakiet na PRO lub VIP w panelu naszego hostingu już od 4zł!
Strony WWWSerwery VPSDomenyHostingDarmowy Hosting CBA.pl

Rachunek różniczkowy i całkowy w fizyce szkolnej - część 1

zadanie nr 27, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki - kurs podstawowy, część dla klasy VII", WSiP, Warszawa 1976

Belkę o masie 15 kg i długości 6 m podparto w odległości 2,5 m od jednego z końców. Jaką siłę należy przyłożyć na końcu belki, aby była ona w równowadze? Zadanie rozwiąż przy pomocy rachunku całkowego. (Treść zadania jest dostosowana do obecnego układu jednostek SI)

Rozwiązanie

Przedmiotem zadania jest dźwignia dwustronna, której masy nie możemy zignorować. Stąd nie możemy zastosować zwykłego wzoru na moment siły, bo masa całej belki nie jest skupiona w jednym miejscu, jednej odległości od punktu podparcia. Różne fragmenty belki znajdują się w różnych odległościach od tego punktu, a więc generują różne cząstkowe momenty sił w wyniku tylko innych wartości tych odległości.

Jedyny sposób na znalezienie rozwiązania tego zadania, to wykorzystując jednorodność belki podzielenie jej masy na jednakowe fragmenty i tak krótkie, że z uwagi na stałość odległości masy w tym fragmencie od punktu podparcia jest możliwe zastosowanie zwykłego wzoru na moment siły do tego fragmentu belki, a następnie wysumowanie wszystkich cząstkowych momentów sił. Jak to zrobić?

Powyższe rozważanie wskazuje na potrzebę zastosowania pojęcia różniczki. Elementarny moment siły można potraktować jako różniczkę całkowitego momentu siły, której wycałkowanie będzie prowadzić do wysumowania tychże momentów siły. Jednak moment siły nie jest tu zmienną niezależną, a więc różniczka momentu siły musi być potraktowana jako iloczyn pochodnej i różniczki zmiennej niezależnej.

Powstaje pytanie, co tu wybrać jako zmienną niezależną?

Zwróćmy uwagę, że masa belki jest rozłożona jednorodnie i to wzdłuż osi x wybranej wzdłuż długości belki. Ponadto sumując momenty sił musimy pośrednio wysumować fragmenty masy, aby móc użyć danej w zadaniu pełnej masy m. To sugeruje, że zmienną niezależną powinna być zmienna x. Ponadto od zmiennej x zależy bezpośrednio sam moment siły, co tym bardziej podkreśla trafność takiego wyboru - patrz rysunek nr 1.

dźwignia dwustronna

Rozważmy zatem bardzo mały element długości dźwigni wzdłuż zmiennej x, czyli różniczkę dx ( patrz rysunek nr 1). Mnożąc dx przez przekrój poprzeczny S dźwigni i jej gęstość ρ otrzymujemy różniczkę masy tej dźwigni

dm = ρSdx. (1)

Mnożąc dalej dm przez g otrzymujemy różniczkę siły dF,

dF = gρSdx. (2)

Nie znamy tu ani ρ, ani S, ale wykorzystując wiedzę o dźwigni możemy zapisać, że masa jej belki to m = ρV = ρSl , czyli

ρS = m/l . (3)

A więc ostateczny wzór na różniczkę siły, to

dF = (mg/l)dx. (4)

Teraz musimy przypomnieć sobie wiadomości o wielkości fizycznej zwanej momentem siły, patrz pozycja nr 1 w bibliografii. A zatem moment siły ciężkości względem punktu podparcia dźwigni jest iloczynem wektorowym wektora siły F oraz wektora r zaczepionego w punkcie podparcia i wskazującego masę będącą źródłem siły ciężkości, czyli

wzór na moment siły

Jego wartość bezwzględna, czyli długość wynosi

MF = rFsinθ, (6)

gdzie θ jest kątem pomiędzy wektorami r i F, kierunek wektora momentu siły jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory r i F, a zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej.

Przyglądając się rysunkowi nr 1 widzimy, że w tym przypadku wektor r ma długość równą wartości bezwzględnej różnicy położenia różniczki masy dm i początka układu współrzędnych, czyli |x|.

Jeśli chodzi o wartość liczbową wektora siły, to jest on dany wzorem na różniczkę siły (4). W obu przypadkach, niezależnie o które ramię dźwigni chodzi, kąt θ między wektorem różniczki siły dF i wektorem r jest prosty, a jego sinus to 1.

Uwzględniając powyższe mamy, że wartość liczbowa różniczki momentu siły ostatecznie wynosi

dMF = |x|dF = (mg/l)|x|dx. (7)

W ten sposób całkując wyrażenie (7) w granicach od -a do 0 dostaniemy wartość bezwzględną momentu siły ciężkości krótszego ramienia, czyli

moment siły ciężkości krótszego ramienia

a całkując je od 0 do b otrzymamy to samo dla dłuższego ramienia,

moment siły ciężkości dłuższego ramienia

Aby określić zwroty momentów sił ciężkości dla obu ramion dźwigni posłużmy się trójwymiarowym prawoskrętnym układem odniesienia (więcej informacji w pozycji nr 1 bibliografii). Dla krótszego ramienia otrzymamy moment siły o zwrocie dodatnim na osi z, a dla dłuższego o zwrocie przeciwnym. Warunek równowagi równi, to

M'F + aF - M"F = 0, (10)

gdzie F, to siła którą musimy przyłożyć na końcu krótszego ramienia. Zatem

siła, którą musimy przyłożyć na końcu krótszego ramienia

Jako uwagę można dodać, że jeżeli zastosujemy wzór (9) do dźwigni jednostronnej, czyli b = l, to otrzymamy, że moment siły na tej dźwigni, pochodzący od jej ciężaru to

moment siły dźwigni jednostronnej

Zatem siła ciężkości dźwigni jednostronnej jest rzeczywiście przyłożona w połowie jej długości. Jest to już znamy Ci fakt, ale dopiero zastosowanie rachunku całkowego wyjaśnia dlaczego tak jest, a co więcej pozwala znaleźć środek ciężkości dla ciał o niejednorodnym rozkładzie masy!

Podsumowanie

Jak widać nie ma jakiegoś uniwersalnego przepisu jak zastosować rachunek różniczkowo-całkowy do fizyki. Trzeba wszechstronnie analizować problem i próbować dobrać taki formalizm matematyczny, który będzie prawidłowo opisywał problem fizyczny.

Ponownie jest tu potrzebne doświadczenie nie tylko w rozwiązywaniu zagadnień fizycznych, ale także umiejętność wyczucia, który formalizm matematyczny pasuje do danej sytuacji fizycznej. Często jest tak, że nie od razu się to odgadnie. Zwłaszcza, gdy samemu stawia się problem i istnieje pewna dowolność w postawieniu pytania.

Reasumując, trzeba rozwiązać wiele problemów, aby zdobyć niezbędne doświadczenie i wyczucie jak podchodzić do takich sytuacji fizycznych.

Bibliografia

1) R.Resnick, D.Halliday - Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych, Tom I, PWN, Warszawa 1973.