Rachunek różniczkowy i całkowy w fizyce szkolnej - część 2

zadanie nr 1.25, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki", WSiP, Warszawa 1976

Prędkość prądu rzeki o szerokości d = 600 m wynosi v1 = 2 m/s. Pływak może płynąć z największą prędkością v2 = 6km/h. a) Jaki największy kąt może tworzyć z linią brzegu wypadkowa prędkość pływaka? b) W którym miejscu i po jakim czasie znajdzie się pływak w tym przypadku na przeciwległym brzegu rzeki? Rozwiąż zadanie przy pomocy rachunku różniczkowego.

Rozwiązanie

Zadanie zostało już rozwiązane metodą geometryczną w W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki?- Część 5. Lecz jeżeli chcesz studiować fizykę lub coś pokrewnego i znasz już rachunek różniczkowy, to może zainteresuje Cię metoda algebraiczna rozwiązania tego zadania.

Jeszcze raz naszkicujmy układ wektorów prędkości i to bez sugerowania, że kąt γ jest kątem prostym (rysunek nr 1 ).

rozkład wektorów względem rzeki

Powstaje oczywiste pytanie jak obliczyć wartość największą kąta α w sposób czysto algebraiczny ?

Zauważmy, że skoro możemy zmieniać kąt pod jakim wektor prędkości pływaka jest skierowany względem prędkości rzeki (tu oznaczony jako kąt ω), w granicach od 0° do 180°, to możemy go przyjąć jako zmienną niezależną. Wtedy kąt α, kąt jaki tworzy wypadkowa prędkości pływaka i prędkości rzeki z brzegiem rzeki jest funkcją kąta ω.

Moglibyśmy wtedy spróbować zastosować metodę szukania ekstremum kąta α jako funkcji kąta ω znaną z rachunku różniczkowego (przyrównanie pierwszej pochodnej α względem ω do zera).

Zatem stosując oznaczenia z rysunku 1 mamy

tg α = y/x .

Tutaj osobom nieobytym z takimi metodami postępowania śpieszę wyjaśnić, że y i x traktujemy po prostu jako pomocnicze wektory o wymiarze prędkości.

Dalej wyrażamy y i x jako funkcje prędkości V1 , V2 i jakiejś funkcji kąta β, czyli

sinβ = y/V2,

a stąd

y = V2 sinβ.

I dalej

(V1 - x)/V2 = cos β,

V1 - x = V2 cos β,

x = V1 - V2 cos β.

Zatem

tg α = ( V2 sinβ )/( V1 - V2 cosβ ).

Należy jeszcze funkcje kąta β wyrazić jako funkcje kąta ω. Skoro

β = 180°- ω, (1)

to stosując wzory redukcyjne mamy

sinβ = sin(180° - ω) = sinω, (2a)

cosβ = cos(180° - ω) = - cosω. (2b)

Zatem

tgα = ( V2 sinω )/( V1 + V2 cosω ), (3)

oraz w końcu mamy

α = arc tg [ ( V2 sinω )/( V1 + V2 cosω ) ]. (4)

Kąt α, jak widać, wyraża się jako funkcja złożona kąta ω. Niemniej spróbujemy sobie poradzić z rachunkami. Przypomnijmy, że warunkiem koniecznym na to, aby funkcja miała ekstremum w jakimś punkcie x0 należącym do jej dziedziny jest, aby jej pochodna w tym punkcie istniała i była równa 0.

Wydaje się, że kąt α jako funkcja ω powinien być funkcją ciągłą, bo tangens istnieje w przedziale [0,π/2), czyli o ile α jest mniejsze od π/2. Pozostałe funkcje wewnętrzne nie mają tych problemów. Nie będziemy jednak tu szczegółowo badać przebiegu tej funkcji, bo to i tak będzie prowadzić przez potrzebne nam rachunki.

Skorzystamy z tego, że jeżeli uda nam się policzyć dα/dω i znajdziemy rozsądną wartość ω, dla której dα/dω = 0, to będzie oznaczać, że rachunki prowadziliśmy prawidłowo i nie naruszyliśmy założeń twierdzenia. Zatem obliczamy pochodną α względem ω korzystając wielokrotnie z reguły obliczania pochodnej funkcji złożonej oraz pochodnej ułamka funkcyjnego i mamy

obliczanie dα/dω

obliczanie dα/dω - ciąg dalszy

obliczanie dα/dω - wynik końcowy

Jak widać dα/dω istnieje. Przyrównajmy ją do 0, czyli faktycznie przyrównujemy licznik do zera i zakładamy, że dla wartości zmiennej ω zerującej licznik, mianownik nie będzie równy 0. Zatem

V1 V2 cosω + (V2)2 = 0 ,

czyli

cosω = - V2 /V1 . (6)

Teraz musimy wrócić do wzoru (3) na tgα i pozbyć się z niego funkcji trygonometrycznych . Ze wzorów (2b) oraz (6) mamy, że

cosβ = V2 /V1 .

Ponadto ze wzoru (2a), tożsamości sin2ω + cos2ω = 1 oraz wzoru (6) wynika, że

sinus β jako funkcja prędkości

Wstawiając do wyrażenia na tgα (wzór 3) obliczony sinω (wzór 7) oraz cosω (wzór 6) otrzymujemy

tangens α wyrażony poprzez prędkości

Ponieważ tgα w przedziale [0,π/2) jest dodatni, więc wybieramy znak '+'. Obliczmy teraz kwadrat Vwypadkowa (w oparciu o rysunek nr 1). Po obliczeniach jest dany on wyrażeniem

wzór na prędkość wypadkową

Patrząc na rysunek nr 1 widzimy, że jest to faktycznie twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ABC, a zatem jest on istotnie trójkątem prostokątnym.

twierdzenie Pitagorasa dla prędkości

Jeżeli chcemy te obliczenia porównać z wynikiem rozwiązania geometrycznego, to wiedząc już, że jest to trójkąt prostokątny wystarczy zgodnie z rysunkiem nr 1 sprawdzić, iż w tym trójkącie z definicji sinα jest równy tyle samo, co w geometrycznym rozwiązaniu.

Pewne obliczenia powyżej pominąłem zakładając, że skoro jesteś w stanie śledzić obliczanie pochodnej, to te rachunki jako ćwiczenie też przeprowadzisz sam. W każdym razie wiesz co masz otrzymać jako wynik!

Podsumowanie

Muszę tu wyjaśnić, że najpierw znalazłem rozwiązanie tego zadania metodą właśnie opisaną powyżej, już jako absolwent uniwersytetu i nauczyciel z pewnym doświadczeniem zawodowym. Rozwiązanie geometryczne znałem ze szkoły, ale nie rozumiałem w ogóle dlaczego trójkąt wektorów prędkości jest prostokątnym. Nie umiano nam tego wyjaśnić.

Podane wyjaśnienie tego faktu wykorzystane w metodzie geometrycznej w części pierwszej mojego poradnika pochodzi ode mnie, jest całkowicie moim dziełem. To był rodzaj ambicji i celu, jaki sobie postawiłem, gdy byłem uczniem, że znajdę pełne wyjaśnienie metody geometrycznej.

Przeglądając wydanie tego zbioru zadań z roku 1992 nie znalazłem w nim tego zadania. Widać po latach stwierdzono, że zadanie to jest zbyt ambitne jak na szkołę średnią. W każdym razie w moich szkolnych czasach zadawano takie zadania i dlatego jego rozwiązanie znalazło się w moim poradniku.