Jeśli jesteś właścicielem tej strony, możesz wyłączyć reklamę poniżej zmieniając pakiet na PRO lub VIP w panelu naszego hostingu już od 4zł!
Strony WWWSerwery VPSDomenyHostingDarmowy Hosting CBA.pl

W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 22

zadanie nr 3.138 , Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki", WSiP, Warszawa 1976

Dwa ciała rzucono pionowo do góry tak, że jedno wzniosło się n = 4 razy wyżej niż drugie. Z jaką prędkością zostało rzucone ciało, które wzniosło się wyżej, jeżeli drugie ciało rzucono z prędkością v1 = 8 m/s?  » Rozwiązanie

zadanie nr 3.142, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki", WSiP, Warszawa 1976

Ciało rzucono pionowo w dół. Prędkość przy upadku okazała się n = 5 razy większa od początkowej. Z jakiej wysokości rzucono ciało, jeśli czas spadania t = 3 s? Ile wynosiła prędkość początkowa? » Rozwiązanie

zadanie nr 3.148, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki", WSiP, Warszawa 1976

Oblicz prędkość początkową, z jaką rzucono ciało pionowo do góry, jeśli na wysokości h = 60 m znalazło się ono dwukrotnie w odstępie czasu t = 2 s ? » Rozwiązanie

Rozwiązanie

Ta część mojego poradnika została pomyślana jako zbiorowe repetytorium dla zagadnień swobodnego spadku ciał i rzutu pionowego. Podam tu rozwiązania 3 zadań, których teoria fizyczna jest typowa i charakterystyczna. Wszelkie tego typu zadania są jakąś wersją tychże i tych rozwiązań będzie można użyć jako wskazówek .

Na każde ciało znajdujące się na określonej wysokości nad Ziemią działa siła grawitacji. Jeżeli ta wysokość nie jest zbyt duża, to możemy zakładać, że pole grawitacji Ziemi jest jednorodne, czyli wartość przyspieszenia ziemskiego z jakim się to ciało porusza jest stała i wynosi g.

Stąd ruch każdego ciała w pobliżu Ziemi przy tym założeniu należy traktować jako ruch ze stałym przyspieszeniem. Są zatem do rozpatrzenia dwa przypadki.

Typ 1) Gdy ciało spada pionowo w dół, z ewentualnie nadaną mu prędkością początkową do dołu, to mamy do czynienia z ruchem jednostajnie przyspieszonym bez lub z prędkością początkową.

Typ 2) Gdy ciało zostało rzucone pionowo do góry, to mamy ruch jednostajnie opóźniony. Taki ruch zawsze jest z prędkością początkową. Patrz rysunek nr 1.

ruch ciał w polu grawitacyjnym Ziemi

Przechodzimy do zadań. Na określoną tutaj nomenklaturę będę się powoływał w treści rozwiązań.

§1 Rozwiązanie zadania nr 3.138 1

Ruch obu ciał jest typu 2. Wzór na drogę w tym ruchu jest dany jako

h = v0t - gt2/2, (1)

przy założeniu, że h0 = 0, tzn. ciało wyrzucono z powierzchni Ziemi. Oczywiście, aby obliczyć h musimy znać czas lotu danego ciała.

Czas lotu ciała, o który chodzi w tym zadaniu, to czas jaki upłynął od chwili jego wyrzucenia w górę do chwili osiągnięcia przez nie maksymalnej wysokości. Ma to miejsce w punkcie zwrotu, gdy ciało przestaje się wznosić i zaczyna opadać. Przekładając to na język prędkości oznacza, że potrzebne jest wyznaczenie chwili czasu, dla której wartość prędkości jest równa 0. Wyznaczymy ten czas z równania (prędkość w ruchu jednostajnie opóźnionym przyrównana do 0)

v = v0 - gt = 0 . (2)

Czyli po prostych przekształceniach mamy

t = v0/g . (3)

Żeby rozwiązać nasze zadanie wprowadźmy oznaczenia sygnowane 1 dla ciała o nieznanej prędkości, a 2 dla ciała o prędkości początkowej 8 m/s. Zmieniłem tu oznaczenia w stosunku do treści zadania, bo jego autorzy są niekonsekwentni w logicznym łączeniu treści zadania i stosowanych w nim oznaczeń. Zatem równanie (1) dla ciała pierwszego przyjmie postać

h1 = v1t1 - gt12/2. (4)

Po obliczeniu czasu wznoszenia się tego ciała zgodnie ze wzorem (3), czyli

t1 = v1/g, (5)

i podstawieniu tego do (4) mamy

h1 = v12/g - gv12/2g2 = v12/2g . (6)

Zatem dla ciała drugiego jest h2 = v22/2g . Ponieważ zgodnie z treścią zadania ciało pierwsze wzniosło się n = 4 razy wyżej niż drugie, zatem możemy to opisać następującą równością

h1 = nh2 , (7)

czyli

v12/2g = nv22/2g. (8)

Skracając stronami mianowniki i również stronami wyciągając pierwiastek mamy, że

v1 = (√n)v2 . (9)

§1 Rozwiązanie zadania nr 3.142 2

Teraz ruch ciała jest typu 1. Ponieważ w treści zadania mamy pewne dane na temat prędkości ciała i czasu jego lotu, więc wypiszmy wzór na prędkość ciała dostrzegając, że jego ruch to ruch jednostajnie przyspieszony z prędkością początkową, czyli

v(t) = v0 + gt . (10)

Ponieważ mamy podane, że prędkość końcowa ciała była 5 razy większa od początkowej, więc możemy policzyć ile wynosiła prędkość początkowa ciała. W tym celu za v(t) w (10) podstawmy nv0 i mamy

nv0 = v0 + gt . (11)

Przenosimy v0 ze zmienionym znakiem na lewą stronę, wyciągamy v0 przed nawias, dzielimy stronami (11) przez (n-1) i otrzymujemy, że prędkość początkowa ciała jest równa

v0 = gt/(n-1) , (12)

co jest odpowiedzią na drugie z pytań zadania.

Aby obliczyć wysokość z jakiej rzucono ciało wypiszmy równanie na drogę w tym ruchu. Zauważmy, że wysokość z jakiej ciało zostało rzucone, to jego droga początkowa (i jednocześnie poszukiwana przez Nas wielkość), ruch jest z prędkością początkową v0 oraz a = g, czyli

h(t) = h0(t) - v0t - gt2/2 . (13)

Droga początkowa została oznaczona jako zależna od t, ponieważ zgodnie z warunkami zadania im dłuższy czas spadania ciała, tym większa wysokość, z kórej spadło ciało.

Zgodnie z treścią zadania ciało po czasie t osiągnęło powierzchnię Ziemi, czyli h(t) = 0. Zatem ze wzoru (13) otrzymujemy

h0(t) = v0t + gt2/2 . (13a)

Za v0 podstawmy do (13a), to co wyliczyliśmy w (12) i mamy

h0(t) = gt2/(n-1) + gt2/2 . (14)

Musimy teraz oba ułamki w (14) sprowadzić do wspólnego mianownika, który ma postać 2(n-1). Przekształcając wzory, mamy kolejno aż do otrzymania odpowiedzi na pierwsze z pytań zadania

przekształcenie wzoru (14)

wzór na wysokość rzutu

§3 Rozwiązanie zadania nr 3.148 3

Choć opisany w zadaniu ruch dotyczy jednego ciała, to jednak jeśli chodzi o równania ruchu, to mamy do czynienia z dwoma fizycznie różnymi ruchami. Są tutaj połączone oba przypadki ruchów z poprzednich zadań. Ustalmy zatem postacie obu równań ruchu.

Gdy nasze ciało porusza się w górę, to wykonuje ruch jednostajnie opóźniony z prędkością początkową (którą musimy obliczyć), czyli jego droga jest dana jako (przy założeniu, że droga początkowa jest równa 0)

h(t) = v0t - gt2/2, (17)

gdzie v0 - nieznana prędkość początkowa. Oczywistym jest, że dla pewnej chwili czasu, oznaczmy ją jako t1, prędkość ciała spadnie do zera i ten ruch ciała zakończy się. Wówczas

h(t1) = v0t1 - g(t1)2/2 . (18)

Jeśli chodzi o ruch ciała w dół, to zauważmy, że h(t1) jest jego drogą początkową. Zatem jego równanie ruchu przyjmuje postać (19), gdzie dla odróżnienia ruchów ciała zmienną czasową oznaczyłem jako t'

h'(t') = h(t1) - g(t')2/2 , (19)

a przez h'(t') oznaczyłem bieżące położenie ciała w tym ruchu.

Powstaje teraz pytanie jak wykorzystać dane zadania do obliczenia prędkości początkowej ciała?

Po pierwsze, dla naszych obliczeń załóżmy chwilowo, że znamy wartość v0. Wtedy korzystając ze wzoru (3) z rozwiązania zadania 3.138 możemy napisać, że

t1 = v0/g , (20)

a tym samym analogicznie do wzoru (6) z tegoż zadania możemy obliczyć z (18), że

h(t1) = v02/2g . (21)

Zatem tak obliczone h(t1) możemy wstawić do (19) i pozbyć się tej zmiennej pośredniej, zostanie to użyte we wzorze (29).

Celem usunięcia wątpliwości podkreślam, że podczas wznoszenia się i podczas opadania, ze względu na zmianę postaci równania opisującego ruch ciała, występujące w tychże równaniach zmienne czasowe to różne zmienne i dlatego nie można w nich zastosować do obliczeń identycznego symbolu (aby nie dochodziło do omyłek).

Stąd dany w zadaniu odstęp czasu 2s faktycznie składa się z dwóch przedziałów czasu. Dla odróżnienia od zmiennych czasowych oznaczmy go chwilowo jako Δt.

Zatem odstęp ten składa się z przedziału, nazwijmy pierwszego, który trwał od chwili osiągnięcia przez ciało wysokości 60m po raz pierwszy, oznaczmy te chwilę jako t0, do momentu osiągnięcia przez nie maksymalnej wysokości w chwili oznaczonej już uprzednio jako t1. Oraz drugiego, który trwał od chwili rozpoczęcia przez ciało spadku do chwili osiągnięcia przez nie ponownie wysokości 60m, którą oznaczymy jako t2. Ponieważ można przyjąć, że początek spadania zaczął się w chwili t' = 0s, więc chwilę t2 można użyć jako miary tego drugiego przedziału.

Stąd mamy następujący bilans czasu dla łącznego ruchu ciała w formie

Δt = t1 - t0 + t2 = 2s . (22)

Ponieważ już wyraziliśmy t1 jako funkcję v0, więc możemy podobnie wyznaczyć t0 i t2 jako funkcje tejże. Zrobimy to na pdst. równań ruchu (17) i (19).

A zatem dla chwili czasu t = t0 równanie (17) przyjmuje postać zgodnie z danymi zadania w formie

h = v0t0 - g(t0)2/2 , (23)

gdzie h, to dana zadania równa 60 m. Wyrażenia z prawej strony (23) przenosimy na lewą ze zmienionymi znakami i otrzymujemy równanie kwadratowe na t0

g(t0)2/2 - v0t0 + h = 0 . (24)

Współczynniki trójmianu kwadratowego są równe (tutaj wyjątkowo pogrubienie nie oznacza wektorów)

a = g/2 , b = -v0, c = h. (25)

Zatem

Δ = b2 - 4ac = (v0)2 - 2gh . (26)

I stąd dalej (wzór na rozwiązanie równania kwadratowego - patrz "W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki?- Część 7")

wzór na t0

Musimy przedyskutować znak ± . Przedział czasu t1 - t0 musi być oczywiście dodatni (t1 dane jest wzorem (20)), czyli

wzór na t1-t0

Widać, że w (28) w grę wchodzi wyłącznie rozwiązanie ze znakiem " + ".

Jeśli chodzi o chwilę czasu t2, to z (19) i (21) mamy (gdzie h, to dana zadania równa 60 m)

h = v02/2g - g(t2)2/2 . (29)

Z (29) możemy wyliczyć, że

g(t2)2/2 = v02/2g - h. (30)

Doprowadźmy prawa stronę (30) do wspólnego mianownika 2g, a następnie pomnóżmy to wyrażenie stronami przez 2/g , a w końcu wyciągnijmy stronami pierwiastek kwadratowy i otrzymujemy

wzór na t2

Oczywiście w grę ponownie wchodzi tylko rozwiązanie z " + " i ostatecznie wstawiając otrzymane wyniki (28) i (31) do (22) otrzymujemy, że

wzór na Δt

Teraz możemy już wyliczyć v0 . W tym celu podnosimy (32) stronami do kwadratu, mnożymy stronami przez g2, rozwijamy nawias po prawej stronie i przenosimy wyraz z h na drugą stronę ze zmienionym znakiem, obracamy stronami równanie, dzielimy stronami przez 4, wyciągamy stronami pierwiastek kwadratowy, wybieramy wynik z " + " i mamy rozwiązanie

wzór na v0

W odpowiedzi do tego zadania zawartej w wydaniu zbioru z roku 1976 jest błąd, natomiast w wydaniu z roku 1992 jest prawidłowa odpowiedź, zadanie to umieszczono tam pod numerem 210. Poprawiono także oznaczenie danych w zadaniu zastępując symbol t oczywistym Δt.