Jeśli jesteś właścicielem tej strony, możesz wyłączyć reklamę poniżej zmieniając pakiet na PRO lub VIP w panelu naszego hostingu już od 4zł!
Strony WWWSerwery VPSDomenyHostingDarmowy Hosting CBA.pl

W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 3

zadanie nr 1.13, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki",WSiP,Warszawa 1976

Statek płynie z portu A do portu B z prądem rzeki w czasie t1 = 4h; czas rejsu powrotnego wynosi t2 = 8h.
a) Ile czasu płynąłby statek z A do B z wyłączonym silnikiem? b) Czy dysponując powyższymi danymi można obliczyć prędkość prądu rzeki?

Rozwiązanie

Pierwsze pytanie dotyczy czasu płynięcia statku z A do B z wyłączonym silnikiem, czyli z samym prądem rzeki. Gdybyśmy znali prędkość prądu rzeki i odległość od A do B, wtedy rozwiązanie byłoby oczywiste, ale tak nie jest.

Dlatego nie pozostaje nam nic innego jak wypisać wzór na czas płynięcia statku z prądem rzeki z A do B w sposób formalny, a następnie za użyte we wzorze zmienne podstawiać kolejne formalne wzory mając nadzieję, że liczne zmienne dadzą się w końcu zredukować i pozostaną tylko dane podane w zadaniu. A zatem

t z prądem = sAB / vrzeki . (1)

Odległość z A do B możemy wyrazić na dwa sposoby. Weźmy najpierw ten, gdy statek ma włączony silnik i płynie z prądem rzeki. Wtedy prędkości statku i rzeki się dodają, statek płynie szybciej niż płynąłby na wodzie stojącej.

sAB = (vstatku + vrzeki)t1 . (2)

Podstawmy to do (1) oraz podzielmy licznik i mianownik przez vrzeki

t z prądem = (vstatku + vrzeki)t1 /vrzeki = ((vstatku / vrzeki) + 1) t1 . (3)

Ze wzoru (3) widać, że czas płynięcia statku tylko z prądem rzeki zależy od danej t1 oraz od wielkości bezwymiarowej, którym jest iloraz prędkości statku i prędkości rzeki. Dla wygody rachunków oznaczmy tę bezwymiarową wielkość vstatku/vrzeki jako β i mamy

t z prądem = (β + 1) t1 . (3')

Aby policzyć tę bezwymiarową wielkość możemy wykorzystać tylko jedno równanie, a mianowicie to, które wyraża równość odległości od A do B niezależnie, czy statek z włączonym silnikiem płynie z prądem rzeki, czy pod prąd (wtedy prędkość rzeki odejmuje się od prędkości statku). Innej oczywistej równości nie mamy!

sAB = sAB ,

(vstatku + vrzeki)t1 = (vstatku - vrzeki)t2 . (4)

Tu dygresja, vstatku jest większa od vrzeki, bo inaczej statek nie mógłby dopłynąć z B do A pod prąd rzeki! Podzielmy stronami (4) przez vrzeki i mamy

(β + 1)t1 = (β - 1)t2 .

Pozbywamy się nawiasów, czasy t1 i t2 grupujemy po jednej stronie równania, a wyrazy z β po drugiej i jest

βt1 − βt2 = − t1 − t2 .

Wyłączając β po lewej stronie, a minus po prawej mamy

β(t1 − t2) = − (t1 + t2),

w końcu β jest równe

β = − (t1 + t2)/(t1 − t2) = (t1 + t2)/(t2 − t1). (5)

Jak widać ze wzorów (5) i (3'), uda się nam wreszcie wyeliminować pośrednią niewiadomą, czyli β. Podstawiając (5) do (3') mamy

t z prądem = ((t1 + t2)/(t2 − t1) +1) t1.

Powyższy wzór jest trochę mało czytelny. Przekształćmy go do prostszej postaci zamieniając 1 na ułamek o mianowniku t2 - t1, dodając dwa ułamki i redukując wyrazy podobne otrzymujemy ostateczną odpowiedź

t z prądem = ((t1 + t2 + t2 − t1)/(t2 − t1))t1 = 2t1t2/(t2 − t1).

Wartość liczbową z pewnością policzysz sam.

Jeśli chodzi o drugie pytanie, to aby policzyć prędkość rzeki, która zresztą ma wymiar km/h, potrzebujemy zgodnie ze wzorem

vrzeki = sAB / t z prądem

jednej danej, która ma wymiar czasu, którą akurat już znamy oraz danej o wymiarze drogi, której nie znamy i w jakikolwiek sposób nie możemy poznać. Niestety nie przydadzą się nam w tym celu dwie wielkości znane, ale obie mające wymiar czasu, bo z nich możemy co najwyżej utworzyć zmienną bezwymiarową!