Jeśli jesteś właścicielem tej strony, możesz wyłączyć reklamę poniżej zmieniając pakiet na PRO lub VIP w panelu naszego hostingu już od 4zł!
Strony WWWSerwery VPSDomenyHostingDarmowy Hosting CBA.pl

W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 23

zadanie nr 4.40, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki", WSiP, Warszawa 1976

Szybki neutron zderza się centralnie i sprężyście z atomem węgla o masie n = 12 razy większej od masy neutronu. Ile razy zmniejszy się prędkość neutronu po N = 10 takich zderzeniach ?

Rozwiązanie

Na początek przypomnijmy (1), że zderzenia sprężyste to takie, w których zostaje zachowana energia mechaniczna zderzających się ciał i nie następuje trwałe ich odkształcenie. Oczywiście, w chwili samego zderzenia ciała się nieco odkształcają, przy czym ich energia kinetyczna zamieniona zostaje częściowo w energię sprężystą odkształcenia, następnie jednak przez działanie wytworzonych przez odkształcenie naprężeń, ciała wracają do swojej postaci pierwotnej i energia sprężysta znów przetwarza się w kinetyczną.

Rozróżniamy dwa typy zderzeń sprężystych, zderzenia centralne i niecentralne. To pierwsze zachodzi wówczas, gdy prędkości zderzających się ciał układają się wzdłuż prostej, łączącej ich środki. W dalszych rozważaniach zakładamy, że ciała nie posiadają ruchów obrotowych, a więc poruszają się ruchem postępowym.

Ponadto zauważmy, że opisane w zadaniu neutron i atom węgla zderzając się oddziałują tylko ze sobą, a zatem tworzą one układ odosobniony. W takim układzie obowiązuje ponadto zasada zachowania pędu. Teraz możemy już przystąpić do rozwiązywania zadania.

Wprowadzam następujące oznaczenia: indeksem N oznaczę wielkości fizyczne związane z neutronem, a C z atomem węgla. Z kolei indeksem 0 oznaczę wartości wielkości fizycznych przed zderzeniem, a 1 po zderzeniu. Zatem zasady zachowania pędu i energii kinetycznej dla obu ciał opisujące ich zderzenie mają postać

zasada zachowania pędu

zasada zachowania energii

Równania te wynikają z faktu, że przed zderzeniem tylko neutron się poruszał.

Jak widać z równań (1) i (2) mamy w nich 5 niezależnych zmiennych, są to masy i prędkości neutronu i atomu węgla, a tylko 2 równania. Stąd musimy dokonać uzgodnienia tych zmiennych z danymi zadania.

Po pierwsze, dane o cząstkach są tak podane, że nie możemy użyć bezwzględnych wartości mas zderzających się cząstek. Musimy podporządkować się informacji, że masa atomu węgla jest 12 razy większa od neutronu i wprowadzić zmienną n. W tym celu dzielimy stronami równania (1) i (2) przez mN i oznaczamy
mC / mN  jako n. Ponadto równanie (2) mnożymy stronami przez 2. W ten sposób mamy poniższy układ równań, równoważny (1) i (2) , czyli

zasada zachowania pędu bez masy

zasada zachowania energii bez masy

Po drugie, aby udzielić odpowiedzi ile razy zmniejszy się prędkość neutronu po 10 zderzeniach musimy najpierw wiedzieć ile razy zmniejszy się jego prędkość po 1 zderzeniu, czyli musimy policzyć iloraz VN0 / VN1. Właśnie ten iloraz, bo skoro neutron zmniejsza prędkość, to VN0 jest większe od VN1 i tylko wtedy otrzymamy liczbę większą od 1.

W ten sposób uda się nam zmniejszyć liczbę nieznanych zmiennych do dwóch, czyli VN0 / VN1 i VC1. A skoro mamy też dwa równania, więc jesteśmy pewni, że otrzymamy jednoznaczny wynik. W tym celu z równania (3) wyliczamy VC1, a otrzymany wynik

wzór na vc1

wstawiamy do równania (4). Tak otrzymane równanie dzielimy stronami przez (VN1)2, upraszczamy pierwszą potęgę n oraz iloraz VN0/VN1 oznaczamy jako β. Powinniśmy otrzymać równanie w formie

β2 = 1+ (1/n)(β - 1)2. (6)

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę ze zmienionym znakiem oraz rozwijamy kwadrat nawiasu, przegrupowujemy wyrażenia, mnożymy stronami przez n i ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe na β

(n -1)β2 + 2β - (n + 1) = 0 . (7)

Współczynniki równania to: a = (n -1), b = 2, c = - (n + 1). Δ jest równa 4n2, a więc jest większa od zera, mamy zatem dwa rozwiązania:

β± = (- b ± Δ½ )/2a = (-1 ± n)/( n - 1). (8)

Przeanalizujmy wynik (8). Mamy dwa przypadki.

Pierwszy, gdy przy n jest znak "+". Wtedy β jest równe 1. Oznacza to, że prędkość neutronu po zderzeniu nie zmieniła się. Nie mamy tu spowolnienia, zatem nie interesuje nas taki przypadek i odrzucamy go.

Oraz drugi, gdy przy n stoi znak "-" . W tym przypadku |β| jest większa od 1, a zatem mamy spowolnienie. Ponadto β jest ujemne co znacza, że neutron zmienia zwrot prędkości, czyli odbija się od atomu węgla. Po zderzeniu atom węgla też się porusza, ale zwrot jego prędkości jest zgodny ze zwrotem prędkości neutronu przed zderzeniem. Zatem otrzymujemy następujący wynik na β

β = - (n + 1)/(n - 1). (9)

Ponieważ w zadaniu autorzy pytają się tylko ile razy zmniejszy się prędkość neutronu, a nie czy zmieni się zwrot, więc w dalszych rozważaniach możemy pominąć znak "-" we wzorze (9). Zatem skoro po pierwszym zderzeniu mamy

spowolnienie neutronu po pierwszym zderzeniu

to po drugim zderzeniu tego samego neutronu z drugim spoczywającym atomem węgla jest

spowolnienie neutronu po drugim zderzeniu

a stąd po dziesięciu zderzeniach będzie ostatecznie, czyli odpowiedź jest

spowolnienie neutronu po 10 zderzeniach

Jeżeli zajrzysz do odpowiedzi w zbiorach zadań, to możesz być zdezorientowany, bo w wydaniu z roku 1976 wprawdzie odpowiedź jest prawidłowa, ale powinno być napisane V0 / VN = ... , a nie na odwrót, no i nie użyto symboli z zadania. Z kolei w wydaniu z 1992 napisano, że {(n - 1)/(n+1)}N, to w przybliżeniu 5,5. Oczywiście podstawa N-tej potęgi powinna być odwrócona.


1 Fizyka Doświadczalna - Część 1, Szczepan Szczeniowski, PWN, Warszawa 1980, §27 Zderzenia kul