Jeśli jesteś właścicielem tej strony, możesz wyłączyć reklamę poniżej zmieniając pakiet na PRO lub VIP w panelu naszego hostingu już od 4zł!

W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 8

zadanie nr 3.81, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki",WSiP,Warszawa 1976

W pewnej odległości od Ziemi różnica potencjałów grawitacyjnych dwu punktów leżących na jednej linii ze środkiem Ziemi i odległych od siebie o l wynosi ΔV. Wyraź odległość tych punktów od powierzchni Ziemi. Promień Ziemi jest także dany i wynosi R.  » Rozwiązanie

zadanie nr 3.196, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki",WSiP,Warszawa 1976

Tak zwany satelita stacjonarny Ziemi porusza się po orbicie kołowej w płaszczyźnie równika z zachodu na wschód. a) W jakiej odległości od powierzchni Ziemi i b) z jaką prędkością powinien się poruszać, aby dla obserwatora dla Ziemi wydawał się nieruchomy? Promień Ziemi R = 6370 km, przyspieszenie ziemskie g = 9,8 m/s2, długość doby T = 86 400 s.  » Rozwiązanie

Uwaga wstępna

W dalszym ciągu będziemy korzystać z własności, że jednorodna kula (czyli mająca stałą gęstość) oddziaływuje grawitacyjnie z punktem materialnym tak, jakby cała jej masa była skoncentrowana w jej środku. Więcej na ten temat podaliśmy przy okazji rozwiązywania zadań numer 3.9 i 3.10 z tegoż zbioru Mendla (1).

Rozwiązanie zadania nr 3.81 1

Rozwiązanie zadania zacznijmy od rysunku sytuacyjnego, rys. nr 1.

sytuacja punktu położonego w odległości x od powierzchni Ziemi

Potencjał grawitacyjny wytworzony przez Ziemię w odległości x od jej powierzchni, zgodnie ze wskazaną na wstępie zasadą jest równy

potencjał grawitacyjny dla punktu w odległości x od powierzchni Ziemi

a w odległości x + l

potencjał grawitacyjny dla punktu w odległości x+l od powierzchni Ziemi

Potencjał grawitacyjny w odległości x + l jest większy od tego dla odległości x. Podana różnica potencjałów ΔV raczej powinna być dodatnia, więc podstawowe równanie opisujące założenia tego zadania powinno mieć postać

równanie spełniane przez potencjały

Stąd otrzymujemy jawnie do rozwiązania następujące równanie na nieznaną wielkość x

równanie na różnicę potencjałów

W nawiasie w (4) ułamki doprowadzamy do wspólnego mianownika (R + x)·(R + x + l), odwracamy otrzymaną proporcję, przekształcamy i otrzymujemy równanie kwadratowe na x w formie

równanie kwadratowe na x

Współczynniki trójmianu kwadratowego są postaci

współczynnik a

współczynnik b

współczynnik c

Obliczamy deltę (człony z R2 i Rl się skracają)

Δ = b2 - 4ac = l2 + 4GMl/ΔV . (6).

Rozwiązania są dwa, dane wzorem

x1/2 = ( - b ± √Δ )/2a,

w postaci (po wykonaniu w liczniku dzielenia przez 2 z mianownika)

rozwiązania na x

Ponieważ otrzymane x musi być większe od zera, więc prawidłowym rozwiązaniem jest ten wynik w (6), który ma '+' przed znakiem pierwiastka kwadratowego.

Chociaż w zadaniu nie ma podanych konkretnych wartości liczbowych dla danych, to jednak prawidłowe postępowanie powinno polegać na zbadaniu dla konkretnych wartości jaka jest wartość liczbowa delty.

Rozwiązanie zadania nr 3.196 2

Zacznijmy od uwag ogólnych co do treści zadania. Nie powinno nikogo dziwić, że satelita ma się poruszać z zachodu na wschód, bo Ziemia właśnie porusza się w ten sposób (przeciwnie do pozornego ruchu Słońca na niebie) (2).

Po drugie, nie powinna nikogo zmylić podana wartość przyspieszenia ziemskiego. Jest to wartość na powierzchni Ziemi, a nie na orbicie, po której porusza się satelita. Użyte w zadaniu sformułowanie oznacza, że mamy takiej wartości g użyć w rozwiązaniu jako danej. Spójrzmy na rysunek sytuacyjny zadania - rys. nr 2.

sytuacja satelity geostacjonarnego położonego w odległości h od powierzchni Ziemi

Wartość liczbowa przyspieszenia grawitacyjnego jakie odczuwa satelita, to

wartość przyspieszenia grawitacyjnego satelity

Zgodnie z tym, co wyżej wskazałem mamy obecny w (1) iloczyn GM wyrazić poprzez g. Jest to możliwe na podstawie wzoru na g, czyli

g = GM/R2 . (2)

W ten sposób wartość gs jest dana jako

wartość przyspieszenia grawitacyjnego satelity wyrazona poprzez przyspieszenie ziemskie

Możemy już teraz przejść do problemu orbity satelity. W tak uproszczonym zagadnieniu oczywiście pomijamy problem ewentualnego oporu górnych warstw atmosfery. W warunkach tego zadania satelita będzie geostacjonarny, jeżeli dodatkowo jego okres obiegu będzie równy okresowi obrotu Ziemi wokół jej osi.

Orbita satelity będzie stabilna, jeżeli cała siła przyciągania grawitacyjnego będzie siłą dośrodkową zmuszającą satelitę do ruchu po tej orbicie. Oznacza to równość przyspieszeń grawitacyjnego i dośrodkowego

gs = ar . (4)

Z uwagi na to, że w zadaniu mamy jako daną długość doby ziemskiej, więc naturalniej będzie wykorzystać wzór na przyspieszenie dośrodkowe zawierający prędkość liniową satelity

ar = v2/(R + h) . (5)

Prędkośc liniową satelity na jego orbicie znajdziemy dzięki temu, że jego droga w ciągu jednego okresu obiegu to obwód koła o promieniu R + h, czyli v = 2π(R+h)/T. Stąd wzór (5), po stosownej redukcji, daje nam

ostateczny wzór na przyspieszenie dośrodkowe satelity

Podstawiając wzory (3) i (6) do (4) otrzymujemy

warunek na orbitę geostacjonarną satelity

Tak otrzymaną proporcję przekształcamy w celu otrzymania wzoru na (R + h)3, otrzymany wzór następnie pierwiastkujemy sześciennie stronami, wybieramy wynik dodatni oraz w końcu otrzymujemy, że

wzór na odległość satelity od Ziemią

Aby otrzymać wzór na prędkość liniową satelity na orbicie do wzoru v = 2π(R+h)/T podstawiamy za (R + h), to co wyliczyliśmy wyżej z obliczenia pierwiastka sześciennego i mamy

wzór na prędkość liniową satelity na orbicie


(1) Szczegółowy dowód tego faktu można znaleźć w - D. Halliday, R. Resnick, Fizyka tom I, rozdział 16-6, PWN, Warszawa 1973.

(2) Najwyraźniej w roku 1976 nie istniało jeszcze słowo 'geostacjonarny'.