W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 7
- Szczegóły
- Kategoria: Zadania z fizyki
- Opublikowano: wtorek, 27 styczeń 2015 14:20
- Autor : Janusz Szcząchor
zadanie nr 1.60, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki",WSiP,Warszawa 1976
W punktach A i B odległych o l = 25 m znajdują się dwa ciała, poruszające się ruchem jednostajnie zmiennym w jednym kierunku po prostej AB. W chwili t0 = 0 ciało A ma prędkość v1 = 1m/s i przyspieszenie a1= 1,16m/s2, a ciało B ma prędkość v2 = 5m/s i przyspieszenie a2= 0,2m/s2. Po jakim czasie ciało A dogoni ciało B?
Rozwiązanie
Sama treść fizyczna w zadaniu jest dość prosta. Ciało A, gdy dogoni ciało B, będzie miało to samo położenie co i B. Zatem droga ciała A będzie równa odległości l plus droga ciała B. Skoro oba ciała poruszają się ruchem jednostajnie przyspieszonym (zmiennym z dodatnim przyspieszeniem), więc mamy następujące równanie na drogę
s1 = l + s2, (1)
v1Δt + a1(Δt)2/2 = l + v2Δt + a2(Δt)2/2. (2)
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę (odpowiednio zmieniając znaki) i mamy
a1(Δt)2/2 - a2(Δt)2/2 + v1Δt - v2Δt - l = 0 . (3)
Musimy obliczyć Δt, a tu Δt występuje w pierwszej, jak i drugiej potędze. Zatem jest to równanie kwadratowe. Wyłączamy za nawiasy (Δt)2, jak i Δt, i otrzymujemy czystą postać równania kwadratowego
[(a1 - a2)/2](Δt)2 + (v1 - v2)Δt - l = 0, (4)
gdzie współczynniki trójmianu kwadratowego to:
a = (a1 - a2)/2,
b = (v1 - v2),
c = - l.
Obliczamy deltę
Δ = b2 - 4ac = (v1 - v2)2 - 4[(a1 - a2)/2](-l).
Aby wiedzieć, czy w ogóle istnieje rozwiązanie naszego równania kwadratowego musimy poznać wartość liczbową delty, a zatem do powyższego podstawiamy wartości dane w zadaniu
Δ = (1m/s - 5m/s)2 + 4(1,16m/s2 - 0,2m/s2)(25m)/2 =
16m2/s2 + 2*0,96*25m2/s2
= 64 m2/s2
Skoro Δ > 0, to mamy dwa rozwiązania! Zatem rozwiązanie na Δt to:
Δt1/2 = ( - b ± √Δ )/2a,
czyli
Δt1/2 = { - (v1 - v2) ± √((v1
- v2)2 + 2l(a1 - a2))}/(a1
- a2) =
(4 m/s ± 8 m/s)/ 0,96m/s2
Wartość ze znakiem minus jest ujemna, a zatem niefizyczna i należy ją odrzucić. Zatem rozwiązaniem jest
Δt = { - (v1 - v2) + √((v1 - v2)2 + 2l(a1 - a2))}/(a1 - a2) = 12,5s.