W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 7

zadanie nr 1.60, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki",WSiP,Warszawa 1976

W punktach A i B odległych o l = 25 m znajdują się dwa ciała, poruszające się ruchem jednostajnie zmiennym w jednym kierunku po prostej AB. W chwili t0 = 0 ciało A ma prędkość v1 = 1m/s i przyspieszenie a1= 1,16m/s2, a ciało B ma prędkość v2 = 5m/s i przyspieszenie a2= 0,2m/s2. Po jakim czasie ciało A dogoni ciało B?

Rozwiązanie

Sama treść fizyczna w zadaniu jest dość prosta. Ciało A, gdy dogoni ciało B, będzie miało to samo położenie co i B. Zatem droga ciała A będzie równa odległości l plus droga ciała B. Skoro oba ciała poruszają się ruchem jednostajnie przyspieszonym (zmiennym z dodatnim przyspieszeniem), więc mamy następujące równanie na drogę

s1 = l + s2, (1)

v1Δt + a1(Δt)2/2 = l + v2Δt + a2(Δt)2/2. (2)

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę (odpowiednio zmieniając znaki) i mamy

a1(Δt)2/2 - a2(Δt)2/2 + v1Δt - v2Δt - l = 0 . (3)

Musimy obliczyć Δt, a tu Δt występuje w pierwszej, jak i drugiej potędze. Zatem jest to równanie kwadratowe. Wyłączamy za nawiasy (Δt)2, jak i Δt, i otrzymujemy czystą postać równania kwadratowego

[(a1 - a2)/2](Δt)2 + (v1 - v2)Δt - l = 0, (4)

gdzie współczynniki trójmianu kwadratowego to:

a = (a1 - a2)/2,

b = (v1 - v2),

c = - l.

Obliczamy deltę

Δ = b2 - 4ac = (v1 - v2)2 - 4[(a1 - a2)/2](-l).

Aby wiedzieć, czy w ogóle istnieje rozwiązanie naszego równania kwadratowego musimy poznać wartość liczbową delty, a zatem do powyższego podstawiamy wartości dane w zadaniu

Δ = (1m/s - 5m/s)2 + 4(1,16m/s2 - 0,2m/s2)(25m)/2 =
16m2/s2 + 2*0,96*25m2/s2 = 64 m2/s2

Skoro Δ > 0, to mamy dwa rozwiązania! Zatem rozwiązanie na Δt to:

Δt1/2 = ( - b ± √Δ )/2a,

czyli

Δt1/2 = { - (v1 - v2) ± √((v1 - v2)2 + 2l(a1 - a2))}/(a1 - a2) =
(4 m/s ± 8 m/s)/ 0,96m/s2

Wartość ze znakiem minus jest ujemna, a zatem niefizyczna i należy ją odrzucić. Zatem rozwiązaniem jest

Δt = { - (v1 - v2) + √((v1 - v2)2 + 2l(a1 - a2))}/(a1 - a2) = 12,5s.