Jeśli jesteś właścicielem tej strony, możesz wyłączyć reklamę poniżej zmieniając pakiet na PRO lub VIP w panelu naszego hostingu już od 4zł!

W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 28

Zadanie nr 2.103 , B.Mendel, J.Mendel - "Zbiór zadań z fizyki", WSiP, Warszawa 1976

Z jaką prędkością kątową powinno obracać się wokół osi symetrii naczynie stożkowe (rys. 2.38), aby kulka umieszczona w naczyniu i obracająca się razem z naczyniem wyleciała na zewnątrz? W chwili początkowej odległość kulki od osi obrotu wynosi R = 6 cm, kąt 2α = 60°.

wirujące naczynie z kulką

Rozwiązanie

Zacznijmy od wstępnej uwagi, że pewna część tekstu tego zadania jest sformułowana być może trochę niejasno. Chodzi po pierwsze o sens wyrażenia "kulka umieszczona w naczyniu i obracająca się razem z naczyniem wyleciała na zewnątrz". Może ono u ucznia wywołać konsternację.

Jest to pewien skrót myślowy, który ma dostarczyć uczniowi informacji, że kulka porusza się po okręgu z taką samą prędkością kątową (mającą stałą wartość) co i naczynie stożkowe, oznaczmy ją literą ω, nie jest do niego przymocowana, a jednocześnie zapewnić, że nie będzie on dociekał jak to się faktycznie dzieje, że kulka się w ogóle obraca, co jest źródłem jej ruchu. Dociekliwy młody umysł może nie chcieć się temu podporządkować.

Ponadto tekst zadania nie zawiera oznaczeń wszystkich istotnych w tym zadaniu wielkości fizycznych. Stąd symbole te trzeba samemu uzupełnić.

Zadanie rozwiążemy w układzie odniesienia związanym z podłożem, na którym stoi obracające się naczynie.

Na kulkę z całą pewnością działa siła grawitacji objawiająca się jako jej ciężar. Zatem oznaczmy jej masę jako m, a ciężar jako P (1). Nie powinno ulegać wątpliwości, że kulka porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu R, tym samym musi na nią działać siła dośrodkowa zmuszająca ją do tego ruchu. Siła ta oczywiście pochodzi od obracającego się naczynia, którego krzywizna nie pozwala poruszać się kulce po linii prostej.

Siłę tę oznaczmy jako N, zwyczajowo nosi ona nazwę siły nacisku. Jest skierowana wzdłuż prostej prostopadłej do powierzchni naciskającej. Układ dotychczas zidentyfikowanych sił przedstawia rysunek nr 1.

siły działające na obracającą się kulkę

Załóżmy, że wartość prędkości kątowej jest taka, że kulka jeszcze nie porusza się w górę (jeżeli kulka ma wylecieć na zewnątrz, to będzie musiała posiadać większą od zera składową prędkości skierowaną do góry, w kierunku pionowym).

Oznacza to, że wypadkowa Fw siły nacisku N oraz ciężaru P jest skierowana poziomo i to ona jest siłą dośrodkową zmuszającą kulkę do ruchu po okręgu - rysunek nr 2.

nacisk i ciężar działające na kulkę

Wzrost prędkości kątowej ω kulki (zgodnie z treścią zadania, z powodu szybszego obracania się stożkowego naczynia) oznacza wzrost siły nacisku N (2). Jednocześnie nie ulega wątpliwości, że ciężar kulki P się nie zmienia. Stąd teraz siła wypadkowa Fw będzie skierowana trochę w górę ponad kierunek poziomy i kulka zacznie poruszać się w górę. To w zasadzie wystarczy do rozwiązania zadania (3).

Jednak takie wyjaśnienie osobie początkującej w fizyce może okazać się niejasne i nasuwać szereg wątpliwości. Dla mnie, gdy byłem uczniem, tak skromne wyjaśnienia oczywiście były nie do zaakceptowania. Dlatego zadanie będziemy analizować dalej.

Siła nacisku N jest siłą kontaktową, działa tylko gdy kulka styka się z naczyniem. Jakakolwiek próba "odlotu" kulki skończy się jej spadkiem na naczynie spowodowanym przez jej ciężar. Zatem, "wylatując" z naczynia kulka faktycznie porusza się po powierzchni naczynia. Oznacza to, że musi wtedy działać na kulkę skierowana w górę, niezerowa siła styczna do powierzchni naczynia.

Rozłóżmy ciężar kulki P na składowe, Pn będącą siłą dociskającą kulkę do naczynia oraz Ps ściągającą ją w dół, po powierzchni naczynia - rysunek nr 3.

rozkłąd ciężaru i siły nacisku na składowe

Siła Pn zmniejsza siłę N do wypadkowej N - Pn. Ta wypadkowa rozkłada się na składową F2 zmuszającą kulkę do ruchu po okręgu (F2 jest oczywiście równa Fw z rysunku nr 2) oraz F1 wywołująca ruch kulki w górę.

Jeżeli siły F1 i Ps będą się równoważyły, to kulka nie będzie się poruszać w kierunku pionowym. Gdy zmniejszymy ω, a tym samym F1, to kulka będzie się poruszać w dół. W przeciwnym przypadku w górę. Warunek równowagi sił F1 i Ps zapisany przy pomocy ich wartości, to oczywiście

F1 = Ps . (1)

Aby wyznaczyć F1 wcale nie potrzebujemy znać N. Możemy ją wyznaczyć z rysunku nr 3

sin α = F1 / F2 . (2)

Podobnie jest z Ps

cos α = Ps / P . (3)

Skoro F2 jest siłą dośrodkową, zatem jej wartość jest dana jako 2R. Stąd (1) możemy zapisać jako

2Rsinα = mgcosα . (4)

To daje oczywisty już wynik

wzór na prędkość kątową

Uwagi

Oczywiście zadanie można rozwiązać w nieinercjalnym układzie odniesienia związanym z poruszającą się kulką. Jednak rozwiązanie w układzie inercjalnym, jest moim zdaniem, bardziej pouczające, bo analizujemy działanie rzeczywistych sił.


(1) Pogrubienie litery w tym artykule oznacza wektor.

(2) Dla ucznia może to nie być takie oczywiste. Wzrost prędkości kątowej ω oznacza wzrost prędkości liniowej, stycznej do toru. To oznacza wzrost wartości wektora pędu kulki, który też jest styczny do toru. Im większy taki pęd, tym potrzebna jest większa siła, aby zmusić kulkę do ruchu po okręgu zamiast po linii prostej. Naczynie stożkowe, jako że jest sztywne, jest w stanie dostarczyć dowolną siłę (oczywiście w granicach swojej sztywności). Dlatego mamy wzrost siły nacisku.

(3) Rozwiązanie zadania nr 121, S. U. Gonczarenko, Zadania z fizyki, Wydawnictwo Naukowo - Techniczne, Warszawa 1974. W tym zadaniu kąt oznaczony jako α, to inny kąt niż w zadaniu ze zbioru Mendla. Jest on równy 90 - α, gdzie α to kąt z zadania ze zbioru Mendla.