W jaki sposób nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki? - Część 19

zadanie nr 3.75, Bogdan Mendel, Janusz Mendel - "Zbiór zadań z fizyki",WSiP,Warszawa 1976

Ze szczytu klocka o kształcie pokazanym na rysunku 3.22 o masie m1 = 200g i wysokości h = 32cm puszczono ciało o masie m2 = 5g. Jaką prędkość będzie miał klocek, a jaką ciało w chwili, gdy ciało opuści klocek? Tarcie między klockiem i ciałem oraz między klockiem i podłożem nie występuje.

Rozwiązanie

Jeśli chodzi o zadania z działu energia kinetyczna i potencjalna, to zasadniczym ich celem jest pokazanie, że do rozwiązania wielu problemów fizycznych nie jest konieczne rozwiązywanie równań ruchu, a wystarczy jedynie stosowanie zasad zachowania. Zastosowanie zasad zachowania na ogół daje szybszy sposób otrzymania rozwiązania.

Przechodząc do omówienia tego zadania zauważmy, że oczywiście ciało o masie m2 zsuwając się w dół kosztem swojej energii potencjalnej nabywa energię kinetyczną. Ale powstaje pytanie, dlaczego ciało niezsuwające się o masie m1 w ogóle ma mieć jakąś prędkość?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozłóż na składowe siłę ciężkości ciała drugiego w dowolnym punkcie toru. Otrzymasz odpowiedź, że pojawia się składowa FN normalna do krzywizny łuku, po którym ciało się porusza. Ona naciskając na ciało pierwsze zmusza je do ruchu w prawo. Siła FN jednak zależy od kąta, jaki tworzy z poziomem normalna do łuku. A zatem FN nie jest stała w czasie, a stąd przyspieszenie jakie uzyskuje ciało m1 nie jest stałe w czasie i zależy od miejsca położenia ciała na łuku. Biorąc pod uwagę jeszcze siłę reakcji ciała pierwszego na drugie mamy w ten sposób zawiły problem matematyczny, którego nie da się rozwiązać bez rachunku całkowego. Zadanie można jednak rozwiązać prościej.

Wyjściem z problemu są dwie konkluzje.

  1. Zauważ, że ciała m1 i m2 tworzą układ izolowany, nie oddziaływują z innymi ciałami. A zatem do ruchu tych ciał można zastosować zasadę zachowania pędu.
  2. Nad ciałem m2 pracę wykonuje siła grawitacji. Jest ona siłą zachowawczą, praca w polu tej siły nie zależy od toru ruchu, a jedynie od różnicy potencjałów grawitacyjnych między końcowym i początkowym punktem toru ruchu ciała m2. Dlatego do tego ciała można stosować zasadę zachowania energii.

Stąd mamy odpowiedź, że w tym zadaniu nie trzeba rzeczywiście rozwiązywać równań ruchu ciał, ani obliczać oddziałujących sił.

A zatem kosztem energii potencjalnej ciała m2, oba ciała m1 i m2 nabywają energię kinetyczną, co możemy matematycznie wyrazić jako

m2gh = [m2(v2)2]/2 + [m1(v1)2]/2 . (1)

W chwili początkowej oba ciała są nieruchome, a zatem ich sumaryczny pęd jest zero. Oba ciała tworzą układ izolowany, a zatem w chwili gdy klocek opuszcza ciało ich sumaryczny pęd rownież musi być zero. Zatem rachunkiem wektorowym możemy to wyrazić jako

p1 + p2 = 0.

Oznacza to, że w chwili końcowej pędy ich są równe co do wartości, lecz mają przeciwne zwroty. Stąd

p1 = − p2,

co liczbowo oznacza, że

m1v1 = m2v2 . (2)

Dwa równania (1) i (2) tworzą układ równań na dwie niewiadome v1 i v2, który powinien dać się rozwiązać, jeśli jest niesprzeczny. Zatem

v1 = (m2 /m1)v2 , (3)

(v1)2 = (m2/m1)2(v2)2. (4)

Podstawiając (4) do (1) mamy

równanie 1

skracamy m1 w trzecim ułamku oraz wyłączamy po prawej przed nawias [(v2)2]/2 i otrzymujemy

równanie 2

W nawiasie sprowadzamy wyrazy do wspólnego mianownika m1 i mamy

równanie 3

oraz mnożymy stronami przez 2m1, co daje nam

2m1m2gh = (v2)2{m1m2+(m2)2}. (8)

Wyłączamy przed nawias po prawej stronie m2, skracamy równanie stronami dzieląc przez m2 i otrzymujemy

2m1gh = (v2)2(m1 + m2). (9)

Widać stąd, że

równanie 10

równanie 11

Wstawiając powyższe do równania (3) otrzymujemy, że

równanie 12

Podnosząc m1 w mianowniku przed nawiasem do kwadratu i jednocześnie wprowadzając je pod pierwiastek możemy skrócić po jednym m1 i mamy

równanie 13

I to jest rozwiązanie tego zadania.